Variation constante Lagrange et differentielles d'ordre 1 à coefficients non constants

[Litote]

Hey !! J'ai un gros problème sur la partie des résolutions d'équations d'ordre 1 à coefficients non constants et j'ai décidé qu'au lieu de rester en PLS dans ma chambre fallait mieux que je pose la question : en gros est ce qu'une ame charitable pourrait m'expliquer la résolution de l'item suivant s'il vous plait : 
Afin de résoudre l'équation différentielle y'+2y= e^-2x, on utilise la variation constante de Lagrange. Une solution particulière de l'équation est y1(x)= C(x)e^-2x. 
A : C(x)=1
B:C(x)=x+5
    C(x)=xe^-2x
    C(x)=x
    C(x)=x^2
 
Voila je sais pas par où commencer d'abord la solution homogène qui est ici du coup Ce^-2x après du coup je remplace dans l'équation en suivant la méthode du cours (enfin si je fais pas d'erreur) ce qui me donne : 
C'e-2x+Ce^-2x=e^-2x 
Mais voila après je ne comprends plus rien ! je suppose que je veux me retouver qu'avec un seul C nan ? Mais comment faire ? Je sais pas si j'ai réussi à bien me faire comprendre mais bon voila
 
Merci de bien vouloir aider une jeune P1 en détresse !
 
P.S : j'avais juste envie de dire que vous faites vraiment du bon boulot voila voila et que malgré les quelques items " cochez uniquement les mauvaises réponses" je vous aime bien

[Greg]

Salut !
 
Alors tu as bien démarré les calculs : La solution générale de l'équaion homogène est bien y = Ce^-2x.
Ensuite on prend effectivement C comme étant une fonction variable : Donc y = C(x).e^-2x. Par contre tu as fait une erreur pour le calcul de y'. Si C avait été constant alors y' = C.(e^-2x)' = -2Ce^-2x.
 
Or comme C est variable (on le note d'ailleurs C(x)) alors y devient une fonction de la forme y = u×v avec u=C et v=e^-2x donc y' = u'.v + u.v'
 
Alors y' = (C.e^-2x)' = C'.e^-2x + C.(e^-2x)' = C'.e^-2x - 2C.e^-2x.
 
Tu remplaces alors les valeurs dans ta formule y' + 2y = e^-2x
Donc C'.e^-2x - 2C.e^-2x + 2C.e^-2x = e^-2x
<=> C'.e^-2x = e^-2x (car on simplifie le membre de gauche : -2C.e^-2x + 2Ce^-2x = 0)
<=> C' = 1
<=> C = x + K avec K un nombre réel quelconque
 
Si on prend le cas particulier où K = 0, alors C = x
 
Donc on tombe sur la réponse D : C(x) = x
 
 
Voilà, j'espère que cette explication te fera sortir de ta PLS. (Je te conseille plutôt la position foetale en PACES, ça fait une sorte de retour aux sources, c'est bon pour le moral, et puis la PLS t'auras tout le temps de l'expérimenter en deuxième année)
 
P.S : Je sais que ça vous a plu le "cocher uniquement les mauvaises réponses", c'est à réitérer

[Litote]

Merci infiniment !!!!!!!

[Greg]

De rien

[Kevin]

Ça tombe au concours ça ? ...........

[Greg]

[quote="KevDa"]
Ça tombe au concours ça ? ...........
[/quote]
 
Jusqu'à présent ce n'est jamais tombé, mais ça pourrait tomber, c'est une autre manière de résoudre, et c'est la seule manière pour des fonctions plus complexes. Donc oui ça peut tomber, et en regardant de plus près, tu te rends compte que les profs choisiront des fonctions qui permettront de faciliter le calcul : Ici t'as 2Ce^-2x - 2Ce^-2x donc ça simplifie le calcul et tu peux calculer C assez facilement.

[camomiz]

Mais c'est ULTRA LONG à faire comme calcul

[Kevin]

C'est surtout que j'ai rien compris à l'explication du poly mdrr

[Greg]

En vérité c'est pas si long parce que dans une équa diff normale du type ay' + by = cx + d, vous devez calculer la solution générale de l'équation homogène, puis une solution particulière de l'équation complète, et parfois les profs vous demandent en plus de trouver la constante multiplicative C en vous disant que la solution passe par x=0 et y=0. Du coup ça vous fait 3 calculs à faire.
 
En revanche, lorsque vous avez un calcul avec la méthode de Lagrange, vous devez trouver la solution générale de l'équation homogène puis trouver C(x) (ou C) en faisant un calcul un peu long. Donc y a "que" deux étapes ! Ok la deuxième étape est longue mais si vous faites 2-3 équa diff avec la méthode de Lagrange, je suis sûr que vous trouverez plus ça si long

[Caliban3010]

C'est chiant un peu